方程与函数内在统一性探讨

山东临沂青河实验学校 高金德

  学习目标：

  1. 过程方法目标：

  遵循学生的认知规律，结合学生已有知识现状，采用循序渐进的方式和学生一起参与到探讨二元一次方程与一次函数的内在统一性的过程中来，在交流、合作、分享中感受这一内在统一性。

  2. 知识技能目标：在理解的基础上掌握方程与函数内在统一性，并将之放在不同的数学情境中进行检验，由此举一反三、触类旁通而达到知识技能的灵活运用。

  3.情感态度价值观目标：学生在经历这样一个内在统一性的活动探讨与运用中，感悟知识之间的联系,内化解决问题的技能，并形成良好的学习品质。

  重点：方程与函数的内在统一性探讨与运用

  难点：打开学生的思维，在方程与函数之间进行思维建构，打通知识与知识之间的通道。

  教学过程：

  一、谈谈你的认识：（让学生说出下面等式所表达的数学含义）

  设计意图：基于学生已有知识现状，更多学生倾向于从方程的角度来认识以上表达式。而对于方程，我们往往是从解的角度来进行研究，对于方程         ，我们可以直接得到方程的解为     ，而对于后面的方程，我们发现它们的解是成对出现的，并且是无限组解，那么如何用有限形式来表达无限组解便成为我们思考的问题。因此，这一环节的引入的意图就是为了激发学生探究方程解，从而为探究方程与函数内在统一性做好铺垫。

  二、方程与函数内在统一性探讨:

  得出结论：

  二元一次方程与一次函数内在统一性：

  1、单组解与单个点的内在统一性。  

  即二元一次方程的一组解唯一对应一次函数图象的一个点。 

  2、无限组解与整个图象的内在统一性。  

  即二元一次方程组的所有组解与一次函数图象完全对应统一。 

  设计意图：在对二元一次方程无限组解的探讨中，我们发现，当每一组解化成坐标形式的时候，每一组解将对应直角坐标系中的一个点，通过这种探讨的经历过程，让学生感知由数入形的道理，让学生理解函数图象产生的更为合理的原因。从而对方程与函数内在统一性有更深刻的了解。当学生面对一个二元一次次方程的时候，能够有意识的用一次函数图象来表达其无穷组解；当学生面对一个一次函数图象的时候，能够有意识的感知直线所表达的方程解的本质。即用方程的观点看函数，用函数的观点看方程，从而方程及函数混为一体，就初中阶段的函数所研究的指向来看，二元一次方程和一次函数可以认为是一体两面的关系，同一个知识实体，只不过形式不一样。

  三、内在统一性的运用（函数交点坐标专题）

  1、一次函数 y=x-1与 y=-2x+1 在同一坐标系中的图象如图所示.

  思考：如何认识两条直线的交点 A？