数列的概念与简单表示法

山东省肥城市六中  朱万良

一、教学设计

1．教学内容解析

本课内容为人教A版普通高中课程标准实验教科书必修5第二章数列的一节起始课.这一章共分五节，主要学习一般数列的概念和简单表示法，并将研究两类特殊的数列——等差数列和等比数列，解决与这些数列相关的一些问题，了解它们在实际生活中的应用.

《课程标准》对数列内容的整体定位是：数列作为一类特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型. 本章是在数列概念的建构下，研究两类常见的特殊数列——等差数列、等比数列.通过类比学习，发现其递推关系，探索并掌握其通项公式和求和公式；体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系；能在具体的问题情景中，发现数列的等差关系或等比关系， 并能用有关知识解决相应的问题.就本节课而言，一方面是前面函数知识的延伸及应用，通过概念、表示、性质等多维度探究数列，理解其离散函数本质；另一方面利用数列丰富多样的实际背景让学生对本章学习产生期许，对本章教学内容产生总体印象，为后面学习等差数列、等比数列的通项、求和等知识打下铺垫.

根据以上分析，本节课的教学重点确定为

教学重点：理解数列的概念，感受数列是刻画自然规律的数学模型及其广泛应用．初步感知整章所涉及的数列模型，激发学生学习兴趣.

2．学生学情诊断

高二学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，对数列的知识有了初步的接触和认识，又通过数列前几项求通项公式的基础，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻.思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系，同时思维的严密性还有待加强，对数列还错误的停留在“按规律”排列的表象认识，

根据以上分析，确定本节课教学难点为

教学难点：体会研究数列的方法．用函数的观点认识数列，了解函数与数列之间的联系和区别.

3．教学目标设置

（1）通过实例的数列模型建构，使学生形成数列的概念.

（2）利用有关数列实际问题的介绍，激发学生学习研究数列的积极性，使学生感受数列应用广泛性和研究的必要性；

（3）利用具体数列的探究，了解数列是一种离散函数，使学生明确应抓住其函数本质研究数列的方式，培养学生归纳概括和类比学习的能力.

（4）通过分组探究问题引导，使学生感受本章两种重要数列模型等差和等比的特殊性，意识到研究数列的重要性，了解本章知识体系

4．教学策略分析

作为一章内容的起始课，要让学生初步建立对本章知识的了解，激发学生的学习兴趣.同时，既要让学生感受数列的丰富多彩，又不能让素材冲淡主线，刻意标新立异.所以本节课立足学生最近发展区，以熟悉的五个不同领域的情景一线贯穿，由浅入深，层层递进从不同角度让学生了解本章知识概貌，体会思想方法，让学生积极主动参与到课堂教学中来.因此，本节课充分发挥学生主体地位，采用启发引导式教学，实现由感知数列到体会本质的突破.教学中需采用实物投影仪、多媒体课件辅助教学.

二、课堂实录

教学流程：

（一）1．情景引入，理解数列

引言：今天我们将进入新一章的学习，为了让大家了解本章概貌，我将作为一名导游，带领大家一起浏览这一章的风景，今天的第一站让我们从一段密码开始：

播放《达芬奇密码》电影探长破译斐波那契数列密码片段，提出了这样的问题：

师：“电影达芬奇密码中有这样一段情节：卢浮宫馆长索尼埃被杀时留下了一段数字密码和信息，你能从短片中看出探长破译后的明文和原来的密码之间有什么关联吗？

生：数字相同，顺序不同.

师：探长发现索尼埃留下的密码其实就是打乱了顺序的斐波那契数列，它是按另外一种顺序排列的一列数，从而得到启示将下面的英文字母重新进行组合找到了谜底.

以上过程反映了既便是相同的数字按照不同的先后顺序排列也会有不同的意义，这正是我们本章要研究的主题：数列

【评析】此环节这样设计的直接作用是激发了学生的学习兴趣，同时结合章引言中出现的斐波那契数列引出了本章要研究的主题——数列，但更深层次的用意是让学生认识到数字不同排列顺序产生不同信息，这是我们研究数列的本质原因.

师：请大家继续观察这列数，这是探长破译后的明文，它是世界上著名的数列——斐波那契数列.它与索尼埃的密码虽然数字相同，但排列顺序不同.

师：斐波那契数列排在第1位的数是1，排在第2位的数也是1，排在第3位的数是2，排在第4位的数是3，……它是按这样一种顺序排列的.

师：而索尼埃的密码排在第1位的数是13，排在第2位的数是3，排在第3位的数是2，排在第4位的数是21，……，它是按这样一种顺序排列的.

那么也就是说它们都有自己的排列顺序（都是按一定顺序排列的一列数）！

师：由此引出数列的定义

像这样，按照一定顺序排列的一列数称为数列.

所以，索尼埃的密码也是一个数列.

师：你能观察出斐波那契数列的规律吗？索尼埃的密码有类似的规律吗？索尼埃的密码与斐波那契数列是同一个数列吗？

生：……

【说明】学生可能有各种不同的表述，只要合理，就要给予肯定.并由此回归电影片段：斐波那契数列只有按顺序排列才有意义.

【评析】充分发挥背景题材功能，对数列的有顺序和有规律进行了辨析，同时更进一步理解了同一数列的概念.此引入低耗高效，一个例子将数列概念几个易混点解释清楚.

师：数列中的每一个数叫作数列的项.（接着以斐波那契数列为例，说明其中的项）

师：因为数列中数的排列是有顺序的，所以数列中的每一项都和它的序号有关，排在第1位的数称为这个数列的第1项或叫作数列的首项，排在第2位的数称为数列的第2项，依次类推，排在第n位的数称为数列的第n项.

师：这样，数列的一般形式可以写成

a1，a2，…，an，…，其中an表示数列的第n项，简记为{an}.

【说明】强调写法：a是小写字母，1写在下标的位置，表示它排在第1位，然后是a2，a3，…不同的项之间用逗号隔开.

以斐波那契数列为例：1，1，2，3，5，8，13，21，……这个数列的第1项是1，记作a1=1，第2项是1，记作a2=1，第3项是2，记作a3=1，……

师：{an}与an有什么差别吗？

生：{an}表示一个数列，an表示数列{an}的第n项.

【评析】本环节主要以教师讲解为主，强调数列书写的规范.

2． 体会定义  感受数列

从不同领域：大自然、天文学、哲学思想、传统文化、奥林匹克等给出情景，让学生充分感受数列应用的广泛性.

1、大自然中植物花瓣的数目大多符合斐波那契中的项

2，3，5，8，13，……

2、哈雷彗星的回归地球年份

1682，1758，1834，1910，1986，2062

3、一尺之棰，日取其半，万世不竭

  ……

4、古诗词中蕴涵的古塔上的灯数

3，6，12，24，48，96，192

5、1988年到2016年中国奥运金牌数

5，16，16，28，32，51，38，26，……

师：对数列的研究源于现实生产、生活的需要.在日常生活中，人们经常遇到的像存款利息，购房贷款等实际计算问题，都需要用数列的知识来解决.

 学习数列的目的为了更好的让它们服务我们的生产生活.

【评析】从五个领域让学生感受到数列：一、丰富多彩   二、大量存在    三、在实际问题的计算中有用.在过程当中体会到学习数列的重要意义，使学生对本章的学习产生强烈期待，同时给出的六个数列也为后续探究埋下伏笔，有效避免了起始课素材庞杂的不利因素.

3． 分组探究  了解概貌

问题探究：结合我们得到的五组数列，从数列的项数和项的变化趋势观察这些数列的变化规律有什么共同点？又有什么不同？

生：……

教师归纳总结：

一、从项的个数看               有些数列项数有限，无限

（有穷数列、无穷数列）

 二、从相邻项的变化趋势看      有些数列递增递减或不具有单调性

（递增数列、递减数列、常数列、摆动数列）

【评析】本环节设计较为开放，重点培养学生处理数学问题的基本技能：观察.

引导学生发现问题并解决问题. 

通过两两对比从三个不同角度的问题继续探究，由学生共同思考后投影展示：

探究一：以“一尺之棰，日取其半，万世不竭”为例，探究an和它的序号n的关系.

数列中的数an和它的序号n是什么关系？哪个是变动的量，哪个是随之变动的量？你能联想到以前学过的哪些相关内容？

【评析】本环节从学生最近发展区出发由学生直接观察归纳出数列中的数an和它的序号n是函数关系，更重要的是体会解决数列问题最基础的方式就是观察归纳，初步体会数列和函数的关系.

探究二：数列的定义域、值域分别是什么？

无穷数列中n的取值集合是什么？有穷数列中n的取值集合是什么？

【评析】本环节首先让学生通过探究一（可能进一步结合数列的分类）明确数列的定义域是正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，4，…,n}），学生对定义域的陈述可能不严格或不完整，要引导学生注意回答的全面性.

探究三：

函数y=7x+9与y=3x，当x依次取1，2，3，4,…时，其函数值构成的数列各有什么特点？

【评析】本环节首先让学生明确本章第二部分的内容为等差数列、等比数列.让学生通过对比体会到这种数列的本质特征，但对等差数列和等比数列的定义不作过多解释，引导学生从直观上感知这种数列特点，以及初步体会等差数列和一次函数关系，等比数列和指数函数关系.使学生充分了解本章将要研究的主要内容，达到起始课要学生明确学什么的目的.在探求过程中感受数列和函数的联系，体验到了研究数列问题的重要思想方法：（1）观察归纳  （2）类比函数

同时充分发挥学生主体地位，教师充当导游的身份，体现了起始课的特点.让学生感受到了学习的快乐，真正让学生产生学习数列的兴趣.

4．本质引领  类比体会

师：为了巩固这两种思想在解决数列问题中的运用，下面我们通过抢答比赛来具体体验一下：

观察规律填空：

（1）1，4 ，9 ，    ，25

（2）1，3，6，10，      ,  21

（3）1， 3， 4，7， 11， 18，    

（4）第4个图案中阴影部分小三角形的个数为_____．

（5）已知函数 当自变量x按照从小到大的顺序依次取值时其函数值构成一个数列，则4是该数列的第     项．

【评析】通过实际运用，进一步巩固观察归纳和函数方程思想第运用.同时介绍本章涉及的一些有趣的数列.

师：既然数列有如此丰富的资源等着我们探寻，我们该怎样研究它呢？

请大家跟我一起回顾一下报告单的生成过程：首先我们都是通过什么方式得到了数列的规律？

生：观察归纳 

师：在研究过程中，我们发现数列和我们所学的那部分内容密切相关？

生：类比函数

【评析】通过对实例的再次反思，由学什么自然过渡为怎么学.通过问题引起认知冲突，得出结论：数列是一类特殊的函数，既要抓住其函数特性研究数列，又要注意其离散的特点.

5．总结整理  提炼升华

师：经过本节课的学习，请大家结合教材，谈谈对数列有了哪些认识？

结合学生的归纳，完成知识小结．

【评析】回归教材，让学生充分反思.

6．课后检测

课外探究：

（1）选取某家银行实际考察存款方式，了解各种存款利息的计算原理.思考各种计算方式得出的数列是否是本章的数列模型.

（2）搜集生活中关于数列的实际模型.是否符合本章的数列模型

【评析】进一步感知数列在实际问题计算中的重要性，优化学生认知结构，为后续等比，及存款利息计算的学习作好准备.同时培养学生的动手实践、合作探究能力，让学生进一步体会数学的科学价值和应用价值，增强学生学习数学的兴趣.

三、课后反思

通过本节课的教学实践，对《新课程标准》“倡导积极主动、用于探索的学习方式”有了更进一步的认识，教师充当导游的身份，在教学过程中精心创设了一个简洁，有趣的探索数学的环境，让学生动态地串知成链，同时充分体现了学生的主体地位，发挥了活动课寓教于乐的优势，极大的激发了学生学习本章的兴趣，为后续学习起到较好的的铺垫.从本节课所经历的预设与生成的过程来看，有如下可取之处：

层次分明，螺旋上升的教学环节设计.从感受数列，理解数列，体会数列，运用数列的认知过程符合学生思维特点和认知水平.对素材的运用充分合理，既保证了模型典型有趣，又能有效调动学生，便于问题的拓展与延伸，帮助学生由浅入深，联知编网的了解本章知识结构.避免了传统序言课素材过杂，主线不清，收效不实的情况发生；突破了背景的复杂性和知识的丰富性之间的矛盾.

丰富多样，活泼健康的课堂结构形态.本节课针对起始课的特点，一是运用了多种活动形式，如独立思考问题，同桌讨论交流，动手操作实践，小组合作探究，成果展示活动等，活动形式的多样性改变了以往小结课堂沉闷的气氛，使起始课变得生动有趣；二是通过一些新颖的教学设计，促进学生认知结构的主动建构与思维优化，使数学的辩证思维得意进一步发展，为此教师必须高屋建瓴地调控教学变动因素，不但要注意学生的外在操作活动，也要注意学生内部的思维流程，通过自身亲和力，得体幽默的点评努力使数学课堂教学成为学生主动参与的充满活力的数学思维活动场所.

“整体建构，拓展提高”的和谐教学模式.抓住了数列的函数本质，问题线,活动线,知识线,方法线串联起来,条理清晰,层层递进,融会贯通.

改进之处：一是由于课型要求，对等差等比概念不作纠缠，导致学生在理解数列在生活中的某些运用如存款利息感知的不具体；二是可以让学生充分准备，自己选取模型构造数列，让数列呈现方式更丰富，让学生享受成功的喜悦．

四、教学点评

本节课准确把握了章起始课的定位，紧紧围绕为什么学、学什么以及怎样学的问题展开，从实际情境引入，巧妙引发所要探究的问题，通过有效的数学情景递进探究，一线串珠式的使学生从直观感知——动手提炼——理解本质——动态生成——总结升华层层深入了解本章知识结构，既体现数学知识在探究过程中的自然生成过程，又与学生的认知过程相吻合，充分体现了新课改的基本理念.有如下特色：

1.准确定位教学目标，教学编排一线串珠

本节课通过环环相扣的5个教学环节，不仅让学生明白了学习数列的重要意义，而且对数列将要学习的主要内容及知识框架有了大致了解，更重要的是通过本节课的学习让学生对数列的主要特点及学习方法有了初步感知，为后续学习做好了充足的心理准备，唤起了学生对本章学习的强烈期待.在具体问题的处理上把主要精力引导学生了解数列研究对象及怎样学习数列这两个方面，可谓重点突出，详略得当.

整节课通过对五个数列层层递进式的逐步探究，把数列研究的意义（为什么学），数列研究的内容（学什么），数列研究的方式（怎么学）通过学生自主探究，自然有序的展现出来.有效破解了章起始课因知识繁多，内容庞杂而难于整合这一教学难题.在实际处理中注重度的把握，保证学生基础支撑，但也避免一叶障目失去起始课应有价值.

2.精心创设有效情景，知识体系自然建构

第斯惠说：“教学的艺术不在于传授的本领，而在于激励、唤醒、鼓舞.” 本节课的亮点就是在章节起始课中从学生熟悉的情景入手，立足学生最近发展区，尝试创设新颖的问题情境，引导学生主动分析问题背景，从中发现体会数学知识在实际生活中的运用，并在主动质疑中巧妙生成本节课要重点探究的问题，既增强了学生学习数学的兴趣，领悟到学习数学的价值，又体现了学以致用，发展了学生的数学应用意识.

3.展开适度探究模式，协作交流相得益彰

本节课坚持以问题为导引，着力整体概貌的介绍，让学生体验感知数列学习的主要特点但又巧妙规避了对这些内容的具体深入，可谓引而不发，通过有效留白，激发了学生好奇心与求知欲.本节课的教学过程就是学生自主合作学习的过程，教师采用提问、学生自主讨论、小组讨论、展示交流等多种方式促使学生合作学习.教学中教师把联系与思考的过程与合作学习结合起来，与交流、讨论结合起来，学生自主建构的知识与能力的效率无疑得到明显提高.